張洲博劉浩宇22 高考數(shù)學(xué)試題分類匯編圓錐曲線 一． 選擇題： 1.（福建卷11)又曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為B A.(1,3) B. C.(3,+) D. 2.（海南卷11）已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，－1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ A ） A. （，－1） B. （，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用和分別表示橢軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，給出下列式子： ①; ②; ③; ④＜. 其中正確式子的序號(hào)是B A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　 　C. ①④　　 　 　D. ②④ 4.（湖南卷8）若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是( B ) A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) 5.（江西卷7）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是C A． B． C． D． 6.（遼寧卷10）已知點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，2）的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（ A ） A． B． C． D． 7.（全國(guó)二9）設(shè)，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ B ） A． B． C． D． 8.（山東卷(10)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為A （A） (B) (C) (D) 9.（陜西卷8）雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ） A． B． C． D． 10.（四川卷12）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為( B ) （Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ） 11.（天津卷（7）設(shè)橢圓（，）的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為B （A） （B）　 （C） （D） 12.（浙江卷7）若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是D （A）3 （B）5 （C） （D） 13.（浙江卷10）如圖，AB是平面的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是B （A）圓 （B）橢圓 （C）一條直線 （D）兩條平行直線 14.（重慶卷(8)已知雙曲線（a＞0,b＞0）的一條漸近線為y=kx(k＞0),離心率e=,則雙曲線方程為C （A）－=1 (B) (C) (D) 二． 填空題： 1.（海南卷14）過雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F。過點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則△AFB的面積為_______ 2.（湖南卷12）已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為,離心率e=過頂點(diǎn)A(0,b)作AM,垂足為M，則直線FM的斜率等于 . 3.（江蘇卷12）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓1( 0)的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= ． 4.（江西卷15）過拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線，與拋物線分別交于、兩點(diǎn)（在軸左側(cè)），則 ． 5.（全國(guó)一14）已知拋物線的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為 ．2 6.（全國(guó)一15）在中，，．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率 ． 7.（全國(guó)二15）已知是拋物線的焦點(diǎn)，過且斜率為1的直線交于兩點(diǎn)．設(shè)，則與的比值等于 ． 8.（浙江卷12）已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)若，則=______________。8 三． 解答題： 1.（安徽卷22）．（本小題滿分13分） 設(shè)橢圓過點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上 解 (1)由題意： ，解得，所求橢圓方程為 (2)方法一 設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。 由題設(shè)知均不為零，記,則且 又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而 于是 ， ， 從而 ，（1） ，（2） 又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即 （1）+（2）2并結(jié)合（3），（4）得 即點(diǎn)總在定直線上 方法二 設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。 且 又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是 （1） （2） 由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程 整理得 （3） (4) (4)－(3) 　　　得 即點(diǎn)總在定直線上 2.（北京卷19）．（本小題共14分） 已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上，對(duì)角線所在直線的斜率為1． （Ⅰ）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求菱形面積的最大值． 解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為． 因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以? 于是可設(shè)直線的方程為． 由得． 因?yàn)樵跈E圓上， 所以，解得． 設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為， 則，，，． 所以．所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線上， 所以，解得．所以直線的方程為，即． （Ⅱ）因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且? 所以．所以菱形的面積． 由（Ⅰ）可得，所以． 所以當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值． 3.（福建卷21）（本小題滿分12分） 　　　如圖、橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn). 　　　　　　　　　　　　　　 （Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程； 　?。á颍┰O(shè)過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn).若直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)，值有,求a的取值范圍. 本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí)，考查分類與整合思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力.滿分12分. 解法一：(Ⅰ)設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)， 因?yàn)椤鱉NF為正三角形， 所以, 即1＝ 因此，橢圓方程為 (Ⅱ)設(shè) (ⅰ)當(dāng)直線 AB與x軸重合時(shí)， (ⅱ)當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為： 整理得 所以 因?yàn)楹阌?，所以AOB恒為鈍角. 即恒成立. 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對(duì)mR恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2對(duì)mR恒成立. 當(dāng)mR時(shí)，a2b2m2最小值為0，所以a2- a2b2+b2<0. a2<a2b2- b2, a2<( a2-1)b2= b4, 因?yàn)閍>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a>或a<(舍去)，即a>, 綜合（i）(ii)，a的取值范圍為（，+）. 解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)， x=1代入=1. 因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2<|AB|2,2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即>1, 解得a>或a<(舍去)，即a>. （ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)A（x1,y1）, B（x2,y2）. 設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故x1+x2= 因?yàn)楹阌衸OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y2<0恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2 (x1+x2)+ k2 =(1+k2). 由題意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0對(duì)kR恒成立. ①當(dāng)a2- a2 b2+b2>0時(shí)，不合題意； ②當(dāng)a2- a2 b2+b2=0時(shí)，a=; ③當(dāng)a2- a2 b2+b2<0時(shí)，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0, 解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a. 綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）. 4.（廣東卷18）．（本小題滿分14分） 設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)． （1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程； （2）設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）． A y x O B G F F1 圖4 【解析】（1）由得， 當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，過點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為， 即，即橢圓和拋物線的方程分別為和； （2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)， 同理 以為直角的只有一個(gè)。 若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。 關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解， 即以為直角的有兩個(gè)， 因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。 5.(湖北卷19).（本小題滿分13分） 如圖，在以點(diǎn)為圓心，為直徑的半圓中，，是半圓弧上一點(diǎn)，，曲線是滿足為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，且曲線過點(diǎn). （Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程； （Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線l與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、. 若△的面積不小于，求直線斜率的取值范圍. 本小題主要考查直線、圓和雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，考查軌跡方程的求法、不等式的解法以及綜合解題能力.（滿分13分） （Ⅰ）解法1：以O(shè)為原點(diǎn)，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4. ∴曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線. 設(shè)實(shí)平軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c， 則c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲線C的方程為. 解法2：同解法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4. ∴曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線. 設(shè)雙曲線的方程為＞0，b＞0）. 則由　 解得a2=b2=2, ∴曲線C的方程為 (Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F， ∴ 　　∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）. 設(shè)E（x，y），F(xiàn)(x2,y2)，則由①式得x1+x2=,于是｜EF｜＝ ＝而原點(diǎn)O到直線l的距離d＝， ∴S△DEF= 若△OEF面積不小于2,即S△OEF，則有 ③ 綜合②、③知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪(1-,1) ∪(1, ). 解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為y＝kx+2，代入雙曲線C的方程并整理， 得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F， ∴ 　　 .∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）. 設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由①式得 ｜x1-x2｜= ③ 當(dāng)E、F在同一去上時(shí)（如圖1所示）， S△OEF＝當(dāng)E、F在不同支上時(shí)（如圖2所示）. S△ODE=綜上得S△OEF＝于是 由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=若△OEF面積不小于2 ?、? 綜合②、④知，直線l的斜率的取值范圍為[-，-1]∪（-1，1）∪（1，）. 6.（湖南卷20）.（本小題滿分13分） 若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與 x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)x>2時(shí)，點(diǎn)P（x,0） 存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定x0>2. （I）證明：點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同； (II) 試問：點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？ 若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請(qǐng)說明理由. 解: （I）設(shè)AB為點(diǎn)P（x0,0）的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是 （x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,則y21=4x1, y22=4x2, 兩式相減得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因?yàn)閤1x2,所以y1+y20. 設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是M（xm, ym）,則 k=.從而AB的垂直平分線l的方程為 又點(diǎn)P（x0,0）在直線上，所以 而于是故點(diǎn)P（x0,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中， 整理得 （）則是方程（）的兩個(gè)實(shí)根，且 設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l，則 因?yàn)?<<4xm=4(xm-2) =4x0-8,于是設(shè)t=,則t(0,4x0-8). 記l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]2+4(x0-1)2. 若x0>3,則2(x0-3) (0, 4x0-8),所以當(dāng)t=2(x0-3),即=2(x0-3)時(shí), l有最大值2(x0-1). 若2<x0<3,則2(x0-3)0,g(t)在區(qū)間（0，4 x0-8）上是減函數(shù)， 所以0<l2<16(x0-2),l不存在最大值. 綜上所述，當(dāng)x0>3時(shí)，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值 為2（x0-1）；當(dāng)2< x03時(shí)，點(diǎn)P（x0,0）的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值. 8