專題五突破解答題之4 四邊形 在近幾年中考中 涌現(xiàn)了大量四邊形為素材或背景或有關(guān)四邊形的性質(zhì)及判定 或借助一定的圖形變換 折疊 平移 旋轉(zhuǎn) 剪拼等 與動(dòng)態(tài)操作 醞釀與構(gòu)建相關(guān)圖形的某種狀態(tài)與結(jié)論 進(jìn)行相關(guān)計(jì)算 作圖 證明或探究 這對(duì)于培養(yǎng)與訓(xùn)練學(xué)生的空間觀念 動(dòng)手操作 合情推理和探究能力等具有重要的作用 解決這類問題的關(guān)鍵應(yīng)把握三角形 四邊形的性質(zhì)與特征 加強(qiáng)相關(guān)圖形之間的聯(lián)系 利用所給圖形及圖形之間形狀 大小 位置關(guān)系 進(jìn)行觀察 實(shí)驗(yàn) 比較 聯(lián)想 類比 分析 綜合 從動(dòng)態(tài) 變換操作的角度 運(yùn)用分類討論思想分析與解決有關(guān)兩個(gè)三角形 全等或相似 特殊三角形 特殊四邊形的問題 進(jìn)一步體會(huì)三角形與四邊形之間相互轉(zhuǎn)化 相互依存的內(nèi)在關(guān)系 從而提高學(xué)數(shù)學(xué) 用數(shù)學(xué)的能力與素養(yǎng) 在解決此類問題時(shí)要注意 平移 對(duì)稱 旋轉(zhuǎn)等只是改變了圖形的位置 而沒改變圖形的形狀與大小 平四邊形的判定與性質(zhì)例1 如圖Z5 1 點(diǎn)O是 ABC內(nèi)一點(diǎn) 連接OB OC 并將AB OB OC AC的中點(diǎn)D E F G依次連接 得到四邊形DEFG 1 求證 四邊形DEFG是平行四邊形 2 若M為EF的中點(diǎn) OM 3 OBC 和 OCB互余 求DG的長度 圖Z5 1 解 1 D G分別是AB AC的中點(diǎn) E F分別是OB OC的中點(diǎn) DG EF DG EF 四邊形DEFG是平行四邊形 2 OBC和 OCB互余 OBC OCB 90 BOC 90 M為EF的中點(diǎn) OM 3 EF 2OM 6 由 1 有四邊形DEFG是平行四邊形 DG EF 6 解題技巧 此題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì) 三角形的中位線 直角三角形的性質(zhì) 解本題的關(guān)鍵是判定四邊形DEFG是平行四邊形 特殊四邊形的判定與性質(zhì) 例2 2017年上海 已知 如圖Z5 2 在四邊形ABCD中 AD BC AD CD E是對(duì)角線BD上一點(diǎn) 且EA EC 1 求證 四邊形ABCD是菱形 2 如果BE BC 且 CBE BCE 2 3 求證 四邊 形ABCD是正方形 圖Z5 2 證明 1 在 ADE與 CDE中 ADE CDE AD BC ADE CBD CDE CBD BC CD AD CD BC AD 四邊形ABCD為平行四邊形 AD CD 四邊形ABCD是菱形 2 BE BC BCE BEC CBE BCE 2 3 CBE 180 22 3 3 45 四邊形ABCD是菱形 ABE 45 ABC 90 四邊形ABCD是正方形 名師點(diǎn)評(píng) 本題考查了特殊平行四邊形的判定 注意平行四邊形與特殊平行四邊形之間的區(qū)別與聯(lián)系 分別要從四邊形的角 邊和對(duì)角線來理解它們的判定與性質(zhì) 四邊形綜合題 例3 2017年四川南充 如圖Z5 3 在正方形ABCD中 1 求證 EF AG 2 若點(diǎn)F G分別在射線AB BC上同時(shí)向右 向上運(yùn)動(dòng) 點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)速度的2倍 EF AG是否成立 只寫結(jié)果 不需說明理由 3 正方形ABCD的邊長為4 P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn) 當(dāng)S PAB S OAB時(shí) 求 PAB周長的最小值 圖Z5 3 思路分析 1 由正方形的性質(zhì)得出AD AB EAF 角形的性質(zhì)得出 AEF BAG 再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理證出 AOE 90 即可 2 證明 AEF BAG 得出 AEF BAG 再由角的互余關(guān)系和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論 1 證明 四邊形ABCD是正方形 AD AB EAF ABG 90 AEF BAG AEF BAG BAG EAO 90 AEF EAO 90 AOE 90 EF AG 2 解 成立 理由如下 又 EAF ABG AEF BAG AEF BAG BAG EAO 90 AEF EAO 90 AOE 90 EF AG 3 解 過點(diǎn)O作MN AB 交AD于點(diǎn)M BC于點(diǎn)N 如圖Z5 4 圖Z5 4 則MN AD MN AB 4 P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn) 且S PAB S OAB 點(diǎn)P在線段MN上 當(dāng)P為MN的中點(diǎn)時(shí) PAB的周 長最小 思想方法 由特殊到一般的思想方法是探究和拓展問題的重要方法 中考命題也常常采用此辦法 從特殊到一般的過程中 往往許多思路方法不變 只是圖形位置發(fā)生變化