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1、目 錄 第一章 函數(shù)………………………………………………………………………1 第二章 極限與連續(xù)………………………………………………………………5 §1 數(shù)列極限 §2 函數(shù)的極限 §3 無窮小與無窮大 §4 極限的性質及四則運算法則 §5 無窮的比較 §6 數(shù)列極限 §7 連續(xù)函數(shù)的運算法則 §8 初等函數(shù)的連續(xù)性 §9 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 第三章 導數(shù)與微分………………………………………………………………15 §1 導數(shù)的概念 §2 導數(shù)的運算法則 §3 反函數(shù)的導數(shù) §4 復合函數(shù)的導數(shù) §5 隱函數(shù)的導數(shù)

2、§6 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) §7 高階導數(shù) §8 微分 第四章 微分中值定理與導數(shù)的應用……………………………………………26 §1 中值定理 §2 洛必達法則 §3 函數(shù)單調性的判別法 §4 函數(shù)的極值和最值 §5 曲線的凹凸與漸進線 §6 函數(shù)圖形的描繪 第五章 不定積分…………………………………………………………………35 §1 原函數(shù)與不定積分 §2 不定積分的性質 §3 不定積分的計算 第六章 定積分……………………………………………………………………40 §1 定積分的概念 §2 定積分的性質 §3 微積分

3、基本定理 §4 定積分的計算 第七章 定積分的應用……………………………………………………………47 §1 定積分的幾何應用 §2 定積分的物理應用 高等數(shù)學講義 第一章 函數(shù) 一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求 1.理解函數(shù)的概念． 2.了解分段函數(shù)、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的概念． 3.了解反函數(shù)、復合函數(shù)的概念，會分析復合函數(shù)的復合結構. 4.會建立簡單實際問題的函數(shù)模型. （二） 內容提要 1.函數(shù)的定義 (1) 函數(shù)的定義 定義1 設和是兩個變量,是一個給定的數(shù)集,如果對于每個數(shù),變量按照一定法則總有惟一確定的數(shù)值與其對應,則

4、稱是的函數(shù),記作.數(shù)集稱為該函數(shù)的定義域, 稱為自變量, 稱為因變量. 當自變量取數(shù)值時，因變量按照法則所取定的數(shù)值稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值，記作.當自變量遍取定義域的每個數(shù)值時,對應的函數(shù)值的全體組成的數(shù)集=稱為函數(shù)的值域. 定義2 設與是兩個非空實數(shù)集，如果存在一個對應規(guī)則，使得對中任何一個實數(shù)，在中都有惟一確定的實數(shù)與對應，則對應規(guī)則稱為在上的函數(shù)，記為 , 稱為對應的函數(shù)值，記為 , 其中，稱為自變量，稱為因變量. 由定義2知, 函數(shù)是一種對應規(guī)則，在函數(shù)中，表示函數(shù)，是對應于自變量的函數(shù)值，但在研究函數(shù)時，這種對應關系總是通過函數(shù)值表現(xiàn)出來的，

5、所以習慣上常把在處的函數(shù)值稱為函數(shù)，并用的形式表示是的函數(shù).但應正確理解，函數(shù)的本質是指對應規(guī)則.例如就是一個特定的函數(shù)，確定的對應規(guī)則為 就是一個函數(shù). (2) 函數(shù)的兩要素 函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，而函數(shù)值又是由對應規(guī)則來確定的，所以函數(shù)實質上是由其定義域和對應規(guī)則所確定的，因此通常稱函數(shù)的定義域和對應規(guī)則為函數(shù)的兩個要素.也就是說，只要兩個函數(shù)的定義域相同，對應規(guī)則也相同，就稱這兩個函數(shù)為相同的函數(shù)，與變量用什么符號表示無關，如，就是相同的函數(shù). 2． 函數(shù)的三種表示方法 (1) 圖像法 (2) 表格法 (3) 公式法 在用公式法表示函數(shù)時經常遇到下面幾種

6、情況： ① 分段函數(shù) 在自變量的不同取值范圍內，用不同的公式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).如 就是一個定義在區(qū)間上的分段函數(shù). ② 用參數(shù)方程確定的函數(shù) 用參數(shù)方程 （） 表示的變量與之間的函數(shù)關系，稱為用參數(shù)方程確定的函數(shù).例如函數(shù) 可以用參數(shù)方程表示. ③ 隱函數(shù) 如果在方程中，當在某區(qū)間I內任意取定一個值時，相應地總有滿足該 方程的惟一的值存在，則稱方程在區(qū)間I內確定了一個隱函數(shù).例如方程就確定了變量是變量之間的函數(shù)關系. 注意 能表示成(其中僅為的解析式)的形式的函數(shù),稱為顯函數(shù). 把 一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程稱為隱函數(shù)的

7、顯化.例如可以化成顯函數(shù).但有些隱函數(shù)確不可能化成顯函數(shù),例如. 3． 函數(shù)的四種特性 設函數(shù)的定義域為區(qū)間，函數(shù)的四種特性如下表所示. 函數(shù)的四種特性表 函數(shù)的特性 定 義 圖像特點 奇 偶 性 設函數(shù)的定義域關于原點對稱，若對任意滿足則稱是上的偶函數(shù)；若對任意滿足則稱是上的奇函數(shù)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖形關于軸對稱;奇函數(shù)的圖形關于原點對稱 單 調 性 若對任意，當時，有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的單調增加函數(shù)；當時，有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的單調減少函數(shù)，單調增加函數(shù)和單調減少函數(shù)統(tǒng)稱單調函數(shù)，若函數(shù)是區(qū)間上的單調

8、函數(shù)，則稱區(qū)間為單調區(qū)間 單調增加的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調上升的曲線; 單調減少的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調下降的曲線 有 界 性 如果存在，使對于任意滿足則稱函數(shù)是有界的 圖像在直線與之間 周 期 性 如果存在常數(shù)，使對于任意，，有則稱函數(shù)是周期函數(shù)，通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小周期 在每一個周期內的圖像是相同的 4． 基本初等函數(shù) 六種基本初等函數(shù)見下表 六種基本初等函數(shù)表 函數(shù) 解析表達式 常函數(shù) （為常數(shù)） 冪函數(shù) （為常數(shù)） 指數(shù)函數(shù) （,為常數(shù)） 對數(shù)函數(shù) （,為常數(shù)） 三角函數(shù) 反

9、三角函數(shù) 5. 反函數(shù)、復合函數(shù)和初等函數(shù) 二、主要解題方法 1．求函數(shù)定義域的方法 例1 求下列函數(shù)的定義域: (1) ， (2) =. 小結 函數(shù)由解析式給出時，其定義域是使解析式子有意義的一切函數(shù).為此求函數(shù)的定義域時應遵守以下原則： (I) 在式子中分母不能為零； ()在偶次根式內非負； ()在對數(shù)中真數(shù)大于零； ()反三角函數(shù) ，要滿足； (V)兩函數(shù)和（差）的定義域，應是兩函數(shù)定義域的公共部分； () 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集. ()求復合函數(shù)的定義域時，一般是外層向里層逐步求. 2．將復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)

10、的方法 例2 將下列復合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡單函數(shù) (1) ， （2） . 小結 （I）復合函數(shù)的復合過程是由里到外，函數(shù)套函數(shù)而成的.分解復合函數(shù)，是采取由外到內層層分解的辦法.從而拆成若干基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運算. （）基本初等函數(shù)經有限次四則運算所得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù). 3． 建立實際問題的函數(shù)模型的方法 例3 某工廠生產某產品年產量為若干臺，每臺售價為300元，當年產量超過600臺時，超過部分只能打8折出售，這樣可出售200臺，如果再多生產，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型.

11、 例4 一下水道的截面是矩形加半圓形(如圖)，截面積為，是一常量。這常量取決于預定的排水量.設截面的周長為，底寬為，試建立與的函數(shù)模型. 小結 運用數(shù)學工具解決實際問題時，通常要先找出變量間的函數(shù)關系，用數(shù)學式子表示出來，然后再進行分析和計算. 建立函數(shù)模型的具體步驟可為 ： (1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示. (2) 根據(jù)所給條件，運用數(shù)學、物理、經濟及其他知識，確定等量關系. (3) 具體寫出解析式，并指明其定義域. 三、學法建議 1．本章的重點是函數(shù)、復合函數(shù)、初等函數(shù)等概念以及定義域的求法. 2．本章所介紹的內容雖然絕大部分屬于

12、基本概念，并且在中學已經學過，但它們是微 積分學本身研究問題時的主要依據(jù).因次，學習本章的內容應在原有的基礎上進行復習提高. 3．從實際問題中建立函數(shù)模型是解決實際問題關鍵性的一步，也是比較困難的一步，因為要用到幾何學、物理學、經濟學等方面的知識與定律.但我們仍要注意這方面的訓練，以便逐步培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力. 第二章 極限與函數(shù) 一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求 1．了解極限的描述性定義． 2．了解無窮小、無窮大的概念及其相互關系和性質． 3．會用兩個重要極限公式求極限． 4．掌握極限的四則運算法則． 5．理解函數(shù)在一點連續(xù)的概念，

13、知道間斷點的分類． 6．了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）． 7．會用函數(shù)的連續(xù)性求極限． （二）內容提要 １．極限的定義 (1) 函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義 極限定義表 類型 描述性定義 極限記號 設函數(shù)在 為某個正實數(shù))時有定義，如果當自變量的絕對值無限增大時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于無窮”）時函數(shù)的極限 或 設函數(shù)為某個實數(shù))內有定義，如果當自變量無限增大時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于正無窮”）時函數(shù)的極限 或

14、 設函數(shù)(為某個實數(shù))內有定義，如果當自變量無限增大且時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于負無窮”）時函數(shù)的極限 或 設函數(shù)在點的去心鄰域內有定義，如果當自變量在內無限接近于時，相應的函數(shù)值無限接近于某一個固定的常數(shù)，則稱為當（讀作“趨近于”）時函數(shù)的極限 或 設函數(shù)在點的左半鄰域內有定義，如果當自變量在此半鄰域內從左側無限接近于時，相應的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為當趨近于時函數(shù)的左極限 或 設函數(shù)的右半鄰域內有定義，如果當自變量在此半鄰域內從右側無限接近于時，相應的函數(shù)值無限接近于某個固定的常數(shù)，則稱為

15、當趨近于時函數(shù)的右極限 或 數(shù)列的極限 對于數(shù)列，若當自然數(shù)無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數(shù),則稱為當趨于無窮時數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于 或 若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散 不存在 （2）單側極限與極限的關系定理 ①的充分必要條件是． ②的充分必要條件是． （３）極限存在準則 ①單調有界數(shù)列極限的存在定理 單調有界數(shù)列必有極限． ②夾逼準則 若當時，有，且，，則． 2. 極限的四則運算法則 設及都存在，則 (1) ； (2) , (為任意常數(shù)); (3) ． 上述極限四則運算法則對自變量的其他變化過程下的極限

16、同樣成立． 3． 兩個重要極限 (1) 一般形式為（其中代表的任意函數(shù)）． (2) 一般形式為 （其中代表的任意函數(shù)）． ４． 無窮小量與無窮大量 （１）無窮小量 在自變量的某個變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量，簡稱無窮?。?如果，則稱當時,是無窮小量． 注意 一般說來，無窮小表達的是變量的變化狀態(tài)，而不是變量的大小，一個變量無論多么小，都不能是無窮小量，數(shù)零是惟一可作為無窮小的常數(shù)． （２） 無窮大量 在自變量的某個變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為這個變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大． 應該注意的是：無窮大量是極限不存在的一

17、種情形，我們借用極限的記號，表示“當時, 是無窮大量” ． （３）無窮小量與無窮大量的關系 在自變量的某個變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量． （４）無窮小量的運算 ① 有限個無窮小量的代數(shù)和是無窮小量． ② 有限個無窮小量的乘積是無窮小量． ③ 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量． ④ 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量． （5）無窮小量的比較 下表給出了兩個無窮小量之間的比較定義． 無窮小量的比較表 設在自變量的變化過程中，均是無窮小量 無窮小的比較 定 義 記 號 （） （） （６） 極限與無

18、窮小量的關系定理 的充分必要條件是，其中是當時的無窮小量． （７） 無窮小的替換定理 設當時，，，存在，則． 5．函數(shù)的連續(xù)性 ⑴ 函數(shù)在一點連續(xù)的概念 ①　函數(shù)在一點連續(xù)的兩個等價的定義： 定義１　設函數(shù)在點的某個鄰域內有定義，若當自變量的增量趨于零時，對應的函數(shù)增量也趨于零，即 ， 則稱函數(shù)在點處連續(xù)，或稱是的一個連續(xù)點． 定義２　若，則稱函數(shù)在點處連續(xù)． ② 左右連續(xù)的概念　若，則稱函數(shù)在點處左連續(xù)；若 ，則稱函數(shù)在點處右連續(xù)． ⑵ 函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)在點處連續(xù)的充分必要條件是在點處既左連續(xù)又右連續(xù)． 由此可知，函

19、數(shù)在點處連續(xù)，必須同時滿足以下三個條件： ①　函數(shù)在點的某鄰域內有定義， ②　存在， ③　這個極限等于函數(shù)值． ⑶　函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連 續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．如果連續(xù)區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點連續(xù)是指右連續(xù)． ⑷ 間斷點 若函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱點為函數(shù)的間斷點． ⑸ 間斷點的分類 設為的一個間斷點，如果當時，的左極限、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點；否則，稱為的第二類間斷點． 對于第一類間斷點有以下兩種情形： ① 當與都存在，但不相等時，稱為的跳

20、躍間斷點； ② 當存在，但極限不等于時，稱為的可去間斷點． ⑹ 初等函數(shù)的連續(xù)性定理 基本初等函數(shù)在其定義域內是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的． ⑺ 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 ① 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值． ② 根的存在定理 設為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且異號，則至少存在一點，使得． ③ 介值定理 設是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，且，則對介于之間的任意一個數(shù)，則至少存在一點，使得． 二、主要解題方法 1．求函數(shù)極限方法 (1) 利用極限存在的充分必要條件求極限 例1 求下列函數(shù)的極限： （1）， （2） 當為何值時，在的極限

21、存在. 解 (1), , 因為左極限不等于右極限，所以極限不存在． （2）由于函數(shù)在分段點處，兩邊的表達式不同，因此一般要考慮在分段點處的左極限與右極限．于是，有 ， ， 為使存在，必須有=， 因此 ，當=1 時， 存在且 =1． 小結 對于求含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點處的極限，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時極限才存在，否則，極限不存在． （3）利用極限運算法則求極限 例2 求下列函數(shù)的極限： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ． 解 (1) ． (2) 當時，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用

22、商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運算法則． 原式=． (3) 當時，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運算法則，可先進行通分化簡，再用商的運算法則．即 原式= ． (4) 當時，分子分母均無極限，呈現(xiàn)形式．需分子分母同時除以，將無 窮大的約去，再用法則求 原式=． 小結 （）應用極限運算法則求極限時，必須注意每項極限都存在（對于除法，分母極限不為零）才能適用． （）求函數(shù)極限時，經常出現(xiàn) 等情況，都不能直接運用極限運算法則，必須對原式進行恒等變換、化簡，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法． （）對于型，往往需要先

23、通分，化簡，再求極限， （）對于無理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限， （）對分子、分母進行因式分解，再求極限， （）對于當時的型，可將分子分母同時除以分母的最高次冪，然后再求極限． （3）利用無窮小的性質求極限 例3 求下列函數(shù)的極限 （1） ， （2）． 解（1） 因為 而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關系定理解決．因為，所以當時，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即 ． （2）不能直接運用極限運算法則，因為當時分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而 ，因此當時，為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得 . 小結

24、利用無窮小與無窮大的關系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)極限）；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無窮小之積的函數(shù)極限）． （4）利用兩個重要極限求函數(shù)的極限 例4 求下列函數(shù)的極限： （1） ， （2）． 解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限 原式． （2）解一 原式， 解二 原式． 小結 （）利用求極限時，函數(shù)的特點是型，滿足的形式，其中為同一變量； （）用求極限時，函數(shù)的特點型冪指函數(shù)，其形式為型, 為無窮小量，而指數(shù)為無窮大，兩者恰好互為倒數(shù)； （）用兩個重要極限公式

25、求極限時，往往用三角公式或代數(shù)公式進行恒等變形或作 變量代換，使之成為重要極限的標準形式。 (5) 利用等價無窮小代換求極限 常用等價無窮小有 當 時,, ,． 例5 求下列函數(shù)的極限 （1） ， （2）． 解 （1）= （）． （2）= = = （） ． 小結 利用等價無窮小可代換整個分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當分子或分母為多項式時，一般不能代換其中一項。否則會出錯． 如上題 , 即得一錯誤結果． （6）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 例6 求下列函數(shù)的極限 （1） ， （2）． 解 (1) 因為是初等函數(shù)，在

26、處有定義， 所以 ， (2) 函數(shù)看成由 復合而成，利用分子有理化 ， 然后利用復合函數(shù)求極限的法則來運算 =． 小結 利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復合函數(shù)的極限，極限符號與函數(shù)符號可交換次序． 2．判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性． 例 7 討論函數(shù) ， 在點處的連續(xù)性． 解 由于函數(shù)在分段點處兩邊的表達式不同，因此，一般要考慮在分段點處的左極限與右極限． 因而有

27、， 而即 ， 由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知在處連續(xù)． 三、學法建議 1．本章的重點是極限的求法及函數(shù)在一點的連續(xù)的概念，特別是求極限的方法，靈活 多樣．因此要掌握這部分知識，建議讀者自己去總結經驗體會，多做練習． 2．本章概念較多，且互相聯(lián)系，例如：收斂，有界，單調有界；發(fā)散，無界，無窮大；極限，無窮小，連續(xù)等．只有明確它們之間的聯(lián)系，才能對它們有深刻的理解，因此讀者要注意弄清它們之間的實質關系． 3．要深刻理解在一點的連續(xù)概念，即極限值等于函數(shù)值才連續(xù)．千萬不要求到極限存在就下連續(xù)的結論，特別注意判斷分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性．

28、 第三章 導數(shù)與微分 一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求 1. 理解導數(shù)和微分的概念及其幾何意義，會用導數(shù)（變化率）描述一些簡單的實際問題. 2.熟練掌握導數(shù)和微分的四則運算法則和基本初等函數(shù)的求導公式. 3.熟練掌握復合函數(shù)、隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導數(shù)的求法. 4.了解高階導數(shù)的概念，熟練掌握初等函數(shù)的二階導數(shù)的求法. 5.了解可導、可微、連續(xù)之間的關系. 重點 導數(shù)的概念及其幾何意義，計算導數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導數(shù)的求法. 難點 求復合函數(shù)和隱函數(shù)的導數(shù)的方

29、法. （二） 內容提要 1.導數(shù)的概念 ⑴導數(shù) 設函數(shù)在點的某一鄰域內有定義，當自變量在點處有增量，仍在該鄰域內時，相應地，函數(shù)有增量，若極限 存在，則稱在點處可導，并稱此極限值為在點處的導數(shù)，記為，也可記為，即 . 若極限不存在，則稱在點處不可導. 若固定，令，則當時，有，所以函數(shù)在點處的導數(shù)也可表示為 . ⑵ 左導數(shù)與右導數(shù) ① 函數(shù)在點處的左導數(shù) ＝. ② 函數(shù)在點處的右導數(shù) ＝. ③函數(shù)在點處可導的充分必要條件是在點處的左導數(shù)和右導數(shù)都存在且

30、相等． ２．導數(shù)的幾何意義 ⑴曲線的切線 在曲線上點的附近，再取一點，作割線，當點沿曲線移動而趨向于時，若割線的極限位置存在，則稱直線為曲線在點處的切線． ⑵導數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點處的導數(shù)表示曲線在點處的切線斜率. 關于導數(shù)的幾何意義的3點說明: ①曲線上點處的切線斜率是縱標變量對橫標變量的導數(shù).這一點在考慮用參數(shù)方程表示的曲線上某點的切線斜率時優(yōu)為重要. ②如果函數(shù)在點處的導數(shù)為無窮(即,此時在處不可導),則曲線上點處的切線垂直于軸. ③函數(shù)在某點可導幾何上意味著函數(shù)曲線在該點處必存在不垂直于軸的切線. 3.變化率 函數(shù)的增量與自變量增量之比，在自變量增量趨于零時的

31、極限，即導數(shù).在科學技術中常常把導數(shù)稱為變化率(即因變量關于自變量的變化率就是因變量關于自變量的導數(shù)).變化率反映了因變量隨著自變量在某處的變化而變化的快慢程度. 4.可導與連續(xù)的關系 若函數(shù)在點處可導，則在點處一定連續(xù).但反過來不一定成立，即在點處連續(xù)的函數(shù)未必在點處可導. 5. 高階導數(shù) ⑴二階導數(shù) 函數(shù)的一階導數(shù)仍然是的函數(shù)，則將一階導數(shù)的導 數(shù)稱為函數(shù)的二階導數(shù)，記為或或，即 = 或 =. ⑵階導數(shù) 階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)（=3，4，,,）分別記 為 , , ,,， 或, , ,,， 或, , , ， 二階及二階以上的導數(shù)稱為高階導數(shù).

32、6 . 微分 ⑴微分的定義 如果函數(shù)在點處的改變量，可以表示成 ， 其中是比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點處可微，稱為的線性主部，又稱為函數(shù)在點處的微分，記為或，即. ⑵微分的計算 ，其中,為自變量. ⑶一階微分形式不變性 對于函數(shù),不論是自變量還是因變量,總有成立. 7. 求導公式 微分公式 表3.1給出了基本初等函數(shù)的求導公式及微分公式. 表3.1求導與微分公式 求導公式 微分公式 基本初等函數(shù)求導公式 基本初等函數(shù)微分公式

33、 對求導公式作如下兩點說明: (1) 求導公式表示函數(shù)對自變量的導數(shù)，即 =, (2) 求導公式表示函數(shù)對函數(shù)的導數(shù)，即 =. 8. 求導法則 微分法則 ⑴求導法則,微分法則見下表3.2 ⑵復合函數(shù)求導法則 ⑶參數(shù)方程求導法則 ⑷隱函數(shù)求導法 ⑸對數(shù)求導法 表3.2 求導與微分法則表 求導法則 微分法則 函數(shù)的四則運算求導法則 函數(shù)的四則運算微分法則 復合函數(shù)求導法則 設，，則復合函數(shù)的導數(shù)為 復合函數(shù)微分法則 設函數(shù)，,則函數(shù)

34、的微分為，此式又稱為一階微分形式不變性 參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 若參數(shù)方程確定了是的函數(shù)，則 或 = 反函數(shù)求導法則 設的反函數(shù)為，則或 9. 微分近似公式 （1）微分進行近似計算的理論依據(jù) 對于函數(shù),若在點處可導且導數(shù)，則當很小時，有函 數(shù)的增量近似等于函數(shù)的微分, 即有近似公式. (2) 微分進行近似計算的4個近似公式 設函數(shù)在點處可導且導數(shù)，當很小時，有近似公式，即 ， ， 令，則 ， 特別地，當，很小時，有 .

35、 二、主要解題方法 1．用導數(shù)的定義求函數(shù)導數(shù)的方法 例1 求在處的導數(shù). 解 由導數(shù)的定義知 . 例2 求 ，的導數(shù). 解 當時， ， 當時，， 當時，， 所以 ， ， 因此 ， 于是 小結 求分段函數(shù)的導數(shù)時，除了在分界點處的導數(shù)用導數(shù)定義求之外，其余點則仍按初等函數(shù)的求導公式求得. 2． 用和、差、積、商及復合函數(shù)的求導法則求導的方法 例3 設求. 解 ， . 例 4 設 求 . 解 利用復合函數(shù)求導法求導，得 . 小結 若函數(shù)變形后能簡化求導運算，應先簡化后再求導，在求高階導數(shù)時更要注意這一點.

36、另外，還要注意應用四則運算法則的前提條件是：函數(shù)在點可導，否則法則失效.如在點，用四則運算法則求導，不存在，但由例1知 在的導數(shù)為0.對于復合函數(shù)，要根據(jù)復合結構，逐層求導，直到最內層求完，對例4中括號層次分析清楚，對掌握復合函數(shù)的求導是有幫助的. 3．對數(shù)求導方法 例 5 已知 = ，求. 解 兩邊取對數(shù)，得：， 兩邊對同一自變量求導，得 ， . 小結 對數(shù)求導法適合兩類函數(shù)的求導：（1）冪指函數(shù)，（2）函數(shù)是由幾個初等函數(shù)經過乘、除、乘方、開方構成的. 4．隱含數(shù)的求導法 例 6 已知 求. 解 兩端對求導，得 ， ， 整理得 ，故 ， 上式兩端再對求

37、導，得 =， 將 代入上式，得 . 小結 在對隱函數(shù)求二階導數(shù)時，要將的表達式代入中，注意，在的最后表達式中，切不能出現(xiàn). 5．由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導法 例7 設 求 . 解 ， . 小結 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)時，不必死記公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二階導數(shù)時，應按復合函數(shù)求導法則進行，必須分清是對哪個變量求導. 6．求函數(shù)微分的方法 例8 求函數(shù)的微分. 解一 用微分的定義求微分， 有 . 解二 利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得 . 小結 求函數(shù)微分可

38、利用微分的定義，微分的運算法則，一階微分形式不變性等.利用微分形式不變性可以不考慮變量之間是怎樣的復合關系，有時求微分更方便. 7．利用微分求近似值 例9 求的近似值. 解 設 ，由近似公式，得 ， 取 ，則有 . 例10 有一批半徑為的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層鋼，厚度為，估計每只球需要用銅多少克？（銅的密度為） 解 所鍍銅的體積為球半徑從增加時，球體的增量.故由知，所鍍銅的體積為 ， 質量為 . 小結 利用公式計算函數(shù)近似值時，關鍵是選取函數(shù)的形式及正確選取.一般要求 便于計算，越小，計算出函數(shù)的近似值與精確值越接近.另外，在計算三角函數(shù)

39、的近似值時，必須換成弧度. 8．求曲線的切線方程 例11 求曲線的切線，使該切線平行于直線. 解 方程 兩端對求導，得 ， ， ， 由于該切線平行于直線 所以有 ， ， ，. 因為切線必在曲線上，所以，將代入曲線方程得 ， ， 解之 ，此時 ， 切點的坐標為,，切線的斜率分別為 ， ， 因此得切線的方程分別為 ， 即 ， ， 即 . 9．求函數(shù)的變化率 例 12 落在平靜水面上的石頭，產生同心圓形波紋，若最外一圈半徑的增大率總是，問2末受到擾動的水面面積的增大率為多少？ 解 設最外圈波紋半徑為，擾動水面面

40、積為，則 兩邊同時對 求導，得 從而 ， 又 為常數(shù)，故 （類似于勻速直線運動路程與速度、時間的關系）， 因此 ，故有 . 因此，2末受到擾動的水面面積的增大率為. 小結 對于求變化率的模型，要先根據(jù)幾何關系及物理知識建立變量之間的函數(shù)關系式.若是相關變化率模型，求變化率時要根據(jù)復合函數(shù)的鏈式求導法，弄清是對哪個變量的導數(shù). 三、學法建議 1．本章重點為導數(shù)的概念及其幾何意義，計算導數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導數(shù)的 求法，其難點是求復合函數(shù)和隱函數(shù)的導數(shù)方法. 2． 要正確理解導數(shù)與微分的概念，弄清各概念之間的區(qū)別與聯(lián)系.比如，可導必連 續(xù)，反之，不一定成立

41、.可導與可微是等價的.這里等價的含義是：函數(shù)在某點可導必定得出在該點可微，反之，函數(shù)在某點可微，必能推出在該點可導.但并不意味著可導與可微是同一概念.導數(shù)是函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限，微分是函數(shù)增量的線性主部，在概念上兩者有著本質的區(qū)別. 3． 復合函數(shù)求導法既是重點，又是難點，不易掌握，怎樣才能達到事半功倍的效果 呢？首先，必須熟記基本的求導公式，其次，對求導公式必須弄清每一項是對哪個變量求導，如 , 因為 理解公式還要和微商結合起來，右邊的微分約分之后必須等于左邊的微商.另外，要想達到求導既迅速又準確，必須多做題.但要牢記，導數(shù)是函數(shù)改變量之比的極限，不能因為有了基本初等函數(shù)

42、的求導公式及求導法則后，就認為求導僅是利用這些公式與法則的某種運算而忘記了導數(shù)的本質. 4．利用導數(shù)解決實際問題，本章主要有三類題型.一類幾何應用，用來求切線、法線方程.其關鍵是求出切線的斜率及切點的坐標；另一類是變化率模型，求變化率時，一定要弄清是對哪個變量的變化率，如速度再有一類是用微分近似計算求某個量的改變量，解決這類問題的關鍵是選擇合適的函數(shù)關系，正確選取及，切莫用中學數(shù)學方法求問題的準確值，否則是不符合題意的. 第四章 微分學的應用 一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求 1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理. 2

43、.會用洛必達法則求未定式的極限. 3.掌握利用一階導數(shù)判斷函數(shù)的單調性的方法. 4.理解函數(shù)的極值概念，掌握利用導數(shù)求函數(shù)的極值的方法，會解簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應用題. 5.會用二階導數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹性及拐點，能描繪簡單函數(shù)的圖形. 重點 用洛必達法則求未定式的極限，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性與圖形凹性及拐點，利用導數(shù)求函數(shù)的極值的方法以及求簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應用題. （二）內容提要 1. 三個微分中值定理 ⑴ 羅爾（）定理 如果函數(shù)滿足下列三個條件： ①在閉區(qū)間上連續(xù); ②在開區(qū)間內可導; ③, 則至少存在一點使. ⑵ 拉格朗日（）中值定理

44、 如果函數(shù)滿足下列兩個條件： ①在閉區(qū)間上連續(xù)； ②在開區(qū)間內可導, 則至少存在一點，使得或. ⑶ 柯西（）中值定理 如果函數(shù)與滿足下列兩個條件： ①在閉區(qū)間上連續(xù)； ②在開區(qū)間內可導，且, 則在內至少存在一點，使得 . 2.洛必達法則 如果 ①; ②　函數(shù)與在某個鄰域內（點可除外）可導，且； ③　,則 . 注意 上述定理對于時的型未定式同樣適用,對于或時的型未定式也有相應的法則. 3. 函數(shù)的單調性定理 設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，則有 ①若在內，則函數(shù)在上單調增

45、加； ②若在內，則函數(shù)在上單調減少. 4 . 函數(shù)的極值、極值點與駐點 ⑴ 極值的定義 設函數(shù)在點的某鄰域內有定義，如果對于該鄰域內任一點，都有，則稱是函數(shù)的極大值；如果對于該鄰域內任一點，都有，則稱是函數(shù)的極小值. 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點稱為函數(shù)的極值點. ⑵ 駐點 使的點稱為函數(shù)的駐點. ⑶ 極值的必要條件 設函數(shù)在處可導，且在點處取得極值，那么. ⑷ 極值第一充分條件 設函數(shù)在點連續(xù)，在點的某一去心鄰域內的任一點處可導,當在該鄰域內由小增大經過時，如果 ①由正變負，那么是的極大值點，是的極大值； ②由負變正，那么是的極小值點，

46、是的極小值； ③不改變符號，那么不是的極值點. ⑸ 極值的第二充分條件 設函數(shù)在點處有二階導數(shù)，且，，則是函數(shù)的極值點，為函數(shù)的極值，且有 ①如果，則在點處取得極大值； ②如果，則在點處取得極小值. 5.函數(shù)的最大值與最小值 在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在著最大值和最小值.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值只可能在區(qū)間內的駐點、不可導點或閉區(qū)間的端點處取得. 6. 函數(shù)圖形的凹、凸與拐點 ⑴曲線凹向定義 若在區(qū)間內曲線各點的切線都位于該曲線的下方，則稱此曲線在內是向上凹的（簡稱上凹，或稱下凸）；若曲線各點的切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在內是向下凹的（簡稱下凹，或稱上凸）.

47、 ⑵曲線凹向判定定理 設函數(shù)在區(qū)間內具有二階導數(shù)， ① 如果在區(qū)間內，則曲線在內是上凹的. ② 如果在區(qū)間內，則曲線在內是下凹的. ⑶拐點　若連續(xù)曲線上的點是曲線凹、凸部分的分界點，則稱點是曲線的拐點. 7. 曲線的漸近線 ⑴水平漸近線　若當(或或)時，有（為常數(shù)），則稱曲線有水平漸近線. ⑵垂直漸近線　若當(或或)（為常數(shù)）時，有，則稱曲線有垂直漸近線. ⑶斜漸近線　若函數(shù)滿足， (其中自變量的變化過程可同時換成或)，則稱曲線有斜漸近線. 二 、主要解題方法 1 . 用洛必達法則求未定式的極限的方法 例1 求下列極限 （1） （2） （3） （4）

48、（5） 解 （1）由于時，，故原極限為型，用洛必達法則 所以 （分母等價無窮小代換） . （2） 此極限為，可直接應用洛必達法則 所以 = . （3） 所求極限為型 ，不能直接用洛必達法則，通分后可變成或型. . （4）所求極限為型，得 （型） （5）此極限為 型，用洛必達法則，得 不存在， 但 . 小結 使用洛必達法則時，應注意以下幾點： （1）洛必達法則可以連續(xù)使用，但每次使用法則前，必須檢驗是否屬于或未定型，若

49、不是未定型，就不能使用法則； （2）如果有可約因子，或有非零極限的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟； （3）當不存在時，并不能斷定也不存在，此時應使用其他方法求極限. 2 . 單調性的判別與極限的求法 例2 試證當時，. 證 令，易見在內連續(xù)，且. 當時，可知為上的嚴格單調減少函數(shù)，即 當時，，可知為上的嚴格單調增加函數(shù)， 即. 故對任意 有即 . 例 3 求函數(shù)的單調性與極值. 解 函數(shù)的定義域為. ， 令 駐點 列表 - 0 - 0 + 極小 由上表知，單調減

50、區(qū)間為，單調增區(qū)間為，極小值 求函數(shù)的極值也可以用二階導數(shù)來判別，此例中 不能確定處是否取極值， 得是極小值. 小結 用單調性來證明不等式，其方法是將不等式兩邊的解析式移到不等式的一邊，再令此不等式的左邊為函數(shù)；利用導數(shù)判定的單調性；最后利用已知條件與單調性，得到不等式。由例3知，用二階導數(shù)討論函數(shù)在某點的極值不需列表也很方便，但它的使用范圍有限，對、及同時不存在的點不能使用. 3. 求函數(shù)的凹向及拐點的方法 例4 求函數(shù)的凹向及拐點. 解 函數(shù)的定義域 ， ， 令 得， 列表 1 (1,1) 1 0 +

51、0 拐點 拐點 由此可知，上凹區(qū)間,下凹區(qū)間，曲線的拐點是. 小結 求函數(shù)的凹向與拐點只需用拐點的定義及凹向的判別定理即可，注意拐點也可在使不存在的點取得. 4. 求函數(shù)的最大值與最小值的方法 例5 求函數(shù) 在區(qū)間上的最大值與最小值 . 解 函數(shù)在上連續(xù)， 由于， 令 ， 則 ，在處不存在. 故 . 小結 函數(shù)的最大（小）值是整個區(qū)間上的最大（?。┲?，求最大（?。┲档囊话悴襟E為（1）求出在內的所有駐點及不可導點；（2）求出函數(shù)在駐點、不可導點、區(qū)間端點處的函數(shù)值；（3）比較這些值的大小，其中最

52、大者即為函數(shù)的最大值，最小者即為函數(shù)的最小值. 5 . 求曲線漸近線的的方法. 例6 求下列曲線的漸近線 （1） （2） . 解 （1）所給函數(shù)的定義域為. 由于 ， 可知 為 所給曲線的水平漸近線. 由于 ， 可知 為曲線的鉛直漸近線. （2） 所給函數(shù)的定義域,. 由于 ， ， 可知 為所給曲線的鉛直漸近線（在的兩側的趨向不同）. 又 ， ， 所以 是曲線的一條斜漸近線. 6 . 函數(shù)圖形的描繪 例 7 作出函數(shù) 的圖形. 解 函數(shù)的定義域， ， ， 令 ， 解得 . 列表 -1 0

53、 + 0 + + + + + + + 0 極小 拐點 由上表可知： 極小值， 拐點 . （3）漸近線 - 1 x y O ， 所以 是水平漸近線， ， 所以 是鉛直漸近線. （4）作圖如圖所示. 7 . 求實際問題的最大值，最小值的方法 例 8 一條邊長為的正方形薄片，從四角各截去一個小方塊，然后折成一個無蓋的方盒子，問截取的小方塊的邊長等于多少時，方盒子的容量最大？ 解 設截取的小方塊的邊長為 ，則方盒子的容積為

54、 令 ， 得駐點 （不合題意，舍去） 由于在內只有一個駐點，由實際意義可知，無蓋方盒子的容積一定有最大值. 因此， 當時 取得最大值. 故當正方形薄片四角各截去一個邊長是的小方塊后，折成一個無蓋方盒子的容積最大 . 小結 求最優(yōu)化問題，關鍵是在某個范圍內建立目標函數(shù)，若根據(jù)實際問題本身可以斷定可導函數(shù)一定存在最大值或最小值，而在所討論的區(qū)間內部有惟一的極值點，則該極值點一定是最值點. 三 、學法建議 1.本章重點是用洛必達法則求未定式的極限，利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性與凹向及拐點，利用導數(shù)求函數(shù)的極限的方法以及求簡單函數(shù)的最大值與最小值問題. 2.中值定理是導

55、數(shù)應用的理論基礎，一定要弄清楚它們的條件與結論.盡管定理中并沒有 指明的確切位置，但它們在利用導數(shù)解決實際問題與研究函數(shù)的性態(tài)方面所起的作用仍十分重要.建議在學習過程中借助幾何圖形，知道幾個中值定理的幾何解釋. 3.洛必達法則求極限時，建議參照本章例1 中的幾點注意，并且和教科書第二章求極 限的方法結合起來使用. 4. 函數(shù)的圖形是函數(shù)的性態(tài)的幾何直觀表示，它有助于我們對函數(shù)性態(tài)的了解，準確做出函數(shù)圖形的前提是正確討論函數(shù)的單調性，極值，凹向與拐點以及漸近線等，這就要求讀者按教材中指出的步驟完成. 第五章 不定積分 一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求 1．了

56、解原函數(shù)、不定積分的概念及其性質． 2．掌握不定積分的基本公式． 3．掌握不定積分的換元法和分部積分法． 重點 原函數(shù)、不定積分的概念，不定積分的基本公式，不定積分的換元法和分部積分法． 難點 不定積分的換元法和分部積分法． （二）內容提要 1．原函數(shù)與不定積分 （1）原函數(shù) 設函數(shù)在某區(qū)間上有定義，若存在函數(shù)，使得在該區(qū)間任一點處，均有 , 則稱為在該區(qū)間上的一個原函數(shù)． 關于原函數(shù)的問題，還要說明兩點: ①原函數(shù)的存在問題：如果在某區(qū)間上連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在（將在下章加以說明）． ②原函數(shù)的一般表達式：若是的一個原函數(shù)，則是的全部原函數(shù)，其中為任意常數(shù)

57、． (2)不定積分 若是在某區(qū)間上的一個原函數(shù)，則的全體原函數(shù)（為任意常數(shù)）稱為在該區(qū)間上的不定積分，記為，即 積分運算與微分運算之間有如下的互逆關系： ①,此式表明，先求積分再求導數(shù)（或求微分），兩種運算的作用相互抵消． ②此式表明，先求導數(shù)（或求微分）再求積分，兩種運算的作用相互抵消后還留有積分常數(shù)．對于這兩個式子，要記準，要熟練運用． 2．不定積分的基本積分公式 不定積分的基本積分公式如下： 3．不定積分的性質 （1）積分對于函數(shù)的可加性，即 , 可推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情況，即 ． (2)積分對于函數(shù)的齊次性，即

58、 ． 4．分部積分公式 ． 二、主要解題方法 1．直接積分法 例1 計算（1） ， （2）． 解 （1）不能直接用公式，用加項減項變換 ，即 （2）不能直接用公式，用二項和公式展開再利用三角變換． 得 原式． 小結 計算簡單的不定積分，有時只需按不定積分的性質和基本公式進行計算；有時需要先利用代數(shù)運算或三角恒等變形將被積函數(shù)進行整理．然后分項計算． 2．換元積分法 （1）第一換元積分法(湊微分法） = . 例2 計算 （1） ， （2）．

59、解 （1） 選擇換元函數(shù)使所給積分化為基本積分形式，再求出結果． 為此，令 ，則 ，于是 ． 為簡便起見，令 這一過程可以不寫出來，解題過程寫成下面形式即可, （ 稱為湊微分）． （2）． 小結 湊微分法一般不明顯換新變量，而是隱換，像上面所做，這樣省掉了回代過程，更簡便． （2）第二換元積分法 = （其中 是單調可微函數(shù)） 例3 計算 （1） ， （2）． 解（1） 令, 則 , ,于是 原式 =. （2） 設 ,, , 于是 1 原式 = =

60、 =． 小結 第二換元法常用于消去根號，但有時也用于某些多項式 ，像 也可用函數(shù)的三角代換求出結果．通常 當被積分函數(shù)含有根式 時，可令 , 當被積分函數(shù)含有根式 時，可令 , 當被積分函數(shù)含有根式 時，可令 . 3. 分部積分法 分部積分的公式為 =. 應用此公式應注意: （1） 要用湊微分容易求出, （2） 比容易求. 例4 計算 （1） ， （2） ． 解 （1） 選 ，， ， , 于是 原式 , 對于 再使用分部積分法, 選， , 則 ，,從而 ． 原

61、式=（）, 為了簡便起見，所設 , 等過程不必寫出來，其解題步驟如下: . （2） = = , 式中出現(xiàn)了“循環(huán)”，即再出現(xiàn)了移至左端，整理得 =[+]+． 小結 此積分一般用于被積函數(shù)為不同類型的函數(shù)乘積式,但也用于某些函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)等，對于被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積，還有以及上面所講的等，需多次使用分部積分公式，在積分中出現(xiàn)原來的被積分函數(shù)再移項，合并解方程，方可得出結果，而且要記住，移項之后，右端補加積分常數(shù)． 三、學法建

62、議 1．本章的重點是原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式、換元積分法與分部積分法．難點是第一換元積分法，既基本又靈活，必須多下工夫，除了熟記積分基本公式外，還要熟記一些常用的微分關系式．如 ，， ， ,等等． 2．不定積分計算要根據(jù)被積函數(shù)的特征靈活運用積分方法．在具體的問題中，常常是各種方法綜合使用針對不同的問題采用不同的積分方法． 如 ，先換元，令，再用分部積分法即可， =，也可多次使用分部積分公式． 3．求不定積分比求導數(shù)要難得多，盡管有一些規(guī)律可循，但在具體應用時，卻十分靈活，因此應通過多做習題來積累經驗，熟悉技巧，才能熟練掌握． 第六章定積

63、分 一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求 1．理解定積分的概念及其性質． 2．了解定積分的幾何意義． 3．了解變上限的定積分的性質，熟練掌握牛頓萊布尼茨公式． 4．掌握定積分的換元法和分部積分法． 5．了解無窮區(qū)間上的廣義定積分的幾何意義，牛頓–萊布尼茨公式，定各分的換元法和分部積分法． 重點 定積分的概念及定積分的幾何意義，牛頓–萊布尼茨公式，定積分的換元法和分部積分法． 難點 變上限的定積分，定積分的換元法和分部積分法． （二）內容提要 1．曲邊梯形 所謂曲邊梯形是指由曲線、直線和數(shù)軸所圍成的平面圖形． 2．定積分的概念與定積分的幾何意義 （1）定

64、積分的概念 設函數(shù)在區(qū)間上有定義，任取分點 ， 把區(qū)間分成個小區(qū)間，記為 ， 再在每個小區(qū)間上，任取一點，取乘積的和式，即 ． 如果時上述極限存在（即這個極限值與的分割及點的取法均無關），則稱函數(shù)在閉區(qū)間上可積，并且稱此極限值為函數(shù)在上的定積分，記做，即 ， 其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，與分別稱為積分下限與積分上限，符號讀做函數(shù)從到的定積分． 關于定積分定義的說明： ①定積分是特定和式的極限，它表示一個數(shù)．它只取決于被積函數(shù)與積分下限、積分上限，而與積分變量采用什么字母

65、無關，例如，一般地有 =． ②定積分的存在定理：如果在閉區(qū)間上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點，則在上可積． （2）定積分的幾何意義 設在上的定積分為，其積分值等于曲線、直線和所圍成的在軸上方部分與下方部分面積的代數(shù)和． 3．定積分的性質 （1）積分對函數(shù)的可加性，即 , 可推廣到有限項的情況，即 ． （2）積分對函數(shù)的齊次性，即 ． （3）如果在區(qū)間上，則． （4）（積分對區(qū)間的可加性）如果，則 ． 注意：對于三點的任何其他相對位置，上述性質仍成立，仍有 ． （5）（積分的比較性質

66、）如果在區(qū)間上有，則 ． （6）（積分的估值性質）設與分別是函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值與最小值，則 ． （7）（積分中值定理） 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點，使得 ． 4．變上限的定積分 （1）變上限的定積分 當在上變動時，對應于每一個值，積分就有一個確定的值，因此是變上限的一個函數(shù)，記作 ， 稱函數(shù)為變上限的定積分． （2）變上限的定積分的導數(shù) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則變上限定積分在閉區(qū)間上可導，并且它的導數(shù)等于被積函數(shù)，即 ． 5．無窮區(qū)間上的廣義積分 設函數(shù)在上連續(xù)，任取實數(shù)，把極限稱為函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分，記做 ， 若極限存在，則稱廣義積分收斂；若極限不存在，則稱廣義積分發(fā)散． 類似地，可定義函數(shù)在上的廣義積分為 ． 函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分為 ， 其中為任意實數(shù)，當右端兩個廣義積分都收斂時，廣義積分才是收斂的；否則廣義積分是發(fā)散的． 6．微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨